Universiteit Leiden Universiteit Leiden

Nederlands English

'Wiskunde loopt vaak ver vóór op praktische toepassingen'

Een geheimschrift waarmee we nu veilig e-mails versturen is gebaseerd op wiskunde van honderd jaar geleden. De meetkundige oppervlakken die Dino Festi bestudeerde tijdens zijn promotieonderzoek worden wellicht in toekomstige geheimschriften of nieuwe natuurkunde toegepast. Promotie 5 juli.

Veel wiskundige formules kun je je voorstellen als ingewikkeld geplooide oppervlakken in de ruimte. Promovendus Dino Festi bestudeerde onder meer de structuur van K3-oppervlakken. Festi: 'K3-oppervlakken liggen op de grens tussen oppervlakken die we wel begrijpen en oppervlakken waarvan we vrijwel niets begrijpen.' Daarom koos hij ze als onderwerp voor zijn onderzoek.

Oppervlakken 'begrijpen'

Oppervlakken 'begrijpen' houdt in dat er oplossingen gevonden worden van de wiskundige vergelijkingen waarmee de oppervlakken corresponderen. Rekenen aan vergelijkingen is algebra; het bestuderen van oppervlakken is geometrie. Het terrein van Festi brengt de verbanden tussen die twee domeinen in kaart, de algebraïsche geometrie.

Vergelijkingen in de Griekse oudheid

De oorsprong van Festi's onderzoeksterrein is oeroud. Een bekende vergelijking is de stelling van Pythagoras: a2 + b2 = c2 . Griekse wiskundigen formuleerden de stelling in de antieke oudheid; ze geeft de relatie tussen de zijden van een rechthoekige driehoek met lengtes a, b en c weer. Als je a en b vrij mag kiezen, kun je c gemakkelijk uitrekenen. Maar als je de extra eis stelt dat a, b én c gehele getallen moeten zijn, is dat heel wat lastiger.

Impressie van een van de door Dino Festi bestudeerde K3-oppervlakken. 

Rationale getallen

Het onderzoek van Dino Festi is hieraan in de verte verwant. Hij richt zich op een familie van heel wat gecompliceerder vergelijkingen, waarvan hij oplossingen zoekt die rationale getallen moeten zijn. Een rationaal getal is een breuk van gehele getallen a en b, dus a/b. Zelfs op het oog vrij simpele vergelijkingen zitten dan nog vol raadsels. Een vergelijking uit deze familie komt overeen met een gekromd en geplooid oppervlak in een driedimensionale ruimte. Omdat Festi alleen naar rationale oplossingen kijkt, is het voor te stellen dat die ruimte gevuld is met een rooster van losse punten met rationale coördinaten. Festi wil graag precies weten welke van die roosterpunten op het oppervlak in kwestie liggen.

Nul of oneindig

Er zijn alleen voorbeelden van K3-oppervlakken bekend waarop geen of juist oneindig veel rationale punten liggen. Maar het is nog niet bewezen dat er geen oppervlakken met een eindig aantal rationale punten bestaan. Festi's belangrijkste resultaat gaat over deze K3-oppervlakken. 'Ik heb de eigenschappen afgeleid van de krommen die over deze oppervlakken lopen', vertelt hij. Voorbeelden van zulke krommen, maar dan op een boloppervlak, zijn de meridianen van een wereldbol. Wie die krommen wiskundig kan beschrijven, begrijpt ook al heel wat van het oppervlak als geheel. 

Onderzoek over de hele wereld

Volgens Festi onderzoeken veel collega's over de hele wereld dit soort vragen. Als iemand een wiskundig object uiteindelijk echt doorgrondt, is er vaak een stuk gereedschap van te maken dat nuttig is in andere wetenschappen. Zo is er een verband tussen K3-oppervlakken en de snaartheorie in de natuurkunde: de gedroomde 'theorie van alles'. Voor Festi zelf is de motivatie echter in wezen esthetisch: 'Het zijn prachtige objecten. Vanaf oktober ga ik postdoconderzoek doen in Mainz, aan hetzelfde onderwerp. Ik kan er nog jaren op studeren.'