Universiteit Leiden Universiteit Leiden

Nederlands English

Bewijs gevonden tegen eeuw oude natuurkundige aanname

Een nieuwe ontdekking bewijst dat het uitmaakt welke benadering onderzoekers kiezen bij het analyseren van grote natuurkundige, sociale of biologische systemen met een netwerkstructuur. Sinds begin vorige eeuw hebben wetenschappers altijd aangenomen dat elke benadering equivalent is. Nu komen veel resultaten uit de statistische fysica op losse schroeven te staan. Publicatie in Physical Review Letters.

Twee benaderingen

Met complexe modellen analyseren wetenschappers grote systemen zoals vloeistoffen, sociale structuren, dierlijke interacties of de wereldeconomie. Deze hebben zoveel componenten dat onderzoekers ze alleen kunnen beschrijven in termen van waarschijnlijkheid. Ze houden de precieze microscopische details ongespecificeerd en gaan ervan uit dat het systeem in één van de toestanden zit die compatibel zijn met een handjevol bekende en meetbare macroscopische beperkingen, zoals de totale energie. Er zijn twee voornaamste gedachtegangen om dit te doen. Ofwel de beperkingen zijn strikt vastgelegd, of er zit een kleine marge op hun waarde. We noemen deze benaderingen respectievelijk microkanoniek en kanoniek.

Bewijs

Ruim 100 jaar lang hebben wetenschappers aangenomen dat het niet uitmaakt welke benadering je neemt bij het analyseren van grote systemen met zogenoemde korte interacties, omdat beide tot hetzelfde resultaat leiden. Nu hebben de Leidse natuurkundige Diego Garlaschelli, wiskundige Frank den Hollander en hun groepen een ander scenario bedacht waarmee ze bewijzen dat de microkanonische en kanonische benaderingen soms fundamenteel verschillend zijn. Hun scenario komt uit de netwerktheorie, waarin de componenten in een systeem de knooppunten in een netwerk zijn, met een beperking op ofwel het totale aantal onderlinge verbanden, ofwel op het aantal verbanden per individueel knooppunt. In het eerste geval zijn beide benaderingen zoals verwacht equivalent, maar verassend genoeg blijken ze dat niet te zijn in het laatste geval. Het maakt dan dus wel degelijk uit welke benadering je kiest voor de analyse van het systeem.

Ziekteverspreiding

Behalve op het theoretische vlak heeft het resultaat ook belangrijke praktische implicaties voor de benadering van ziekteverspreiding of financiële crises. ‘Stel we kijken naar de sociale interacties in de verspreiding van ziektes,’ zegt Garlaschelli. ‘We weten niet voor elke persoon het exacte aantal connecties dat ze hebben met andere mensen. Dus voor sommigen moeten we een educated guess maken. In de microkanonische benadering zouden we een vast aantal connecties per persoon nemen, en ons daar strikt aan houden. Als we dan een verkeerde gok nemen voor iemand, propageert die fout door het model en zouden we een eenzelfde fout maken bij een ander persoon. Maar in de kanonische benadering houden we al rekening met zulke onzekerheden en zet één verkeerde gok niet meteen een kettingreactie in gang van implicaties. Ons nieuwe bewijs geeft aan dat je dit geval kanonische moet benaderen.’

Fundamenteel belang

Het voorbeeld klinkt voor de hand liggend, maar het onderzoeksteam heeft precieze berekeningen moeten uitvoeren met een combinatie van statistische fysica en discrete wiskunde om hun claim te bewijzen. ‘Het bewijs is erg belangrijk voor ons theoretische begrip van de fundamenten van statistische natuurkunde,’ legt Garlaschelli uit. ‘Veel resultaten uit de statistische fysica, die ten grondslag liggen aan ons begrip van grote systemen in de praktijk, staan nu op losse schroeven.’ 

Artikel

Breaking of Ensemble Equivalence in Networks, T. Squartini, J. de Mol, F. den Hollander, D. Garlaschelli, Physical Review Letters