Universiteit Leiden

nl en

Hoe wiskundige Hendrik Lenstra een incompleet kunstwerk van Escher voltooide

Twintig jaar na dato, in een recensie over een Escher-tentoonstelling in Italië, schrijft Nature Physics er weer over: Leidse wiskundigen die Escher uit de brand helpen. Een reconstructie hoe emeritus hoogleraar Hendrik Lenstra op het spoor kwam van een 44 jaar oud probleem.

Hendrik Lenstra

Een doodgewone vlucht 

Het is het voorjaar van 2000 als wiskundige Hendrik Lenstra in Amerika in een wit Continental Airlines-vliegtuig stapt. Lenstra is zowel in Leiden als aan de Universiteit van Californië hoogleraar en reist regelmatig op en neer. Bij binnenkomst groet een stewardess in een diep donkerblauw mantelpak hem vriendelijk, waarna hij op zijn stoel plaatsneemt en zijn gordel om zijn middel vastklikt.  
 
Een paar uur later, als het vliegtuig op een hoogte van 10 kilometer over Oost-Amerika suist, volgt een moment dat velen zullen herkennen: Lenstra grist uit verveling het vliegtuigmagazine uit de stoel voor hem en begint erin te bladeren. Op dat moment vermoedt hij nog niet dat deze keuze hem later een stortvloed aan publiciteit zal opleveren.

Een reünie met Escher 

‘In het blad lees ik een stuk over de Nederlandse kunstenaar M.C. Escher, waar een plaatje van zijn litho Prentententoonstelling bijstaat,’ schetst de wiskundige twintig jaar later de situatie. ‘Ik kende Escher en zijn prenten van mijn gymnasiumtijd, en wel uit Pythagoras, een wiskundetijdschrift voor jongeren. Daar stond dan steeds een voor middelbare scholieren begrijpelijke uitleg bij, van de hand van wetenschapspopularisator Bruno Ernst. Toen ik wiskunde ging studeren, meende ik daar overheen gegroeid te zijn. Hoe dan ook, terwijl ik in het vliegtuig zit, kijk ik ineens met hele andere ogen naar de litho. Het is mij duidelijk dat er een wiskundige theorie in verstopt zit, en ik vraag mij af welke dat is. Maar in het vliegtuig zittend kom ik daar niet uit...’

Een foto van het kunstwerk de Prentententoonstelling bij de Escher-expositie in Italië:

Escher in de (wiskundige) knoop 

De litho waarin Lenstra zich vastbijt, is een prent van Escher uit 1956. Op het kunstwerk kijkt een man in een galerij naar een prent van een stad aan de kust, waarbij de galerij en de stad in elkaar overvloeien – de man blijkt onderdeel uit te maken van het kunstwerk waarnaar hij kijkt. Dat is echter niet het meest opvallende aan de prent. In het midden prijkt een opzichtige witte cirkel met Eschers handtekening. Volgens Bruno Ernst wil Escher een ‘cirkelvormige expansie zonder begin of einde’ creëren. Maar waarom hij het midden openlaat, is niet helemaal duidelijk. In de loop der jaren zijn velen gefascineerd door de onvolledige prent. Zo verklaart de Amerikaan Douglas Hofstadter in zijn boek Gödel, Escher, Bach: een eeuwige gouden band het ontbrekende middenstuk aan de hand van theorieën van de Duitse filosoof en logicus Kurt Gödel. Ondanks alle aandacht weet niemand het geheimzinnige gat naar voldoening te vullen. Totdat Lenstra op die bewuste terugreis naar Nederland de prent onder ogen krijgt.  

Lenstra krijgt een hint van een oude bekende 

Na een lange vlucht stapt de hoogleraar op Schiphol uit het toestel en keert huiswaarts. Eenmaal thuisgekomen loopt hij naar de boekenkast en pakt daaruit een 116-pagina's tellende, stoffige paperback genaamd De Toverspiegel van M.C. Escher. ‘Een boek waarin Bruno Ernst zijn Pythagoras-bijdragen gebundeld had,’ vertelt Lenstra. ‘Ernst legt in het boek uit hoe Escher de prent gemaakt had, en laat ook werktekeningen van Escher zien, erg inzichtelijk. Bovendien zet één van de opmerkingen die Bruno Ernst maakt mij op het spoor van de zogenaamde “conforme transformaties”. Dat zijn transformaties die op kleine schaal de vorm onveranderd laten. De theorie daarvan stamt uit het midden van de negentiende eeuw, en is grotendeels afkomstig van de Duitse wiskundige Riemann.’   

Maar om welke conforme transformatie gaat het precies, vraagt Lenstra zichzelf af. ‘Uit de werktekeningen wordt mij duidelijk dat de prent zich in principe naar binnen toe moet herhalen, net als de voorstelling op een Droste-blikje. Als men het plaatje dat op een Droste-blikje staat in alle richtingen ongeveer zeven keer zo groot maakt, ziet men hetzelfde plaatje.’ Maar met welke factor moet je de prent van Escher opblazen, en over welke hoek draaien, om dezelfde prent te zien? ‘Een concrete vraag waarmee ik uit de voeten kan,’ denkt hij bij zichzelf.

De wiskunde ‘doorzien’ 

Lenstra stroopt de mouwen op en gaat aan de slag. Een eenvoudige berekening, nota bene op de achterkant van een envelop, geeft hem een precieze formule voor de verlangde transformatie. ‘Daarmee leg ik, feitelijk in een handomdraai, de wiskundige theorie achter de prent volledig bloot,’ zegt Lenstra. ‘Dat zijn altijd mooie momenten, als je opeens het gevoel hebt dat je iets helemaal doorziet!’ Toch blijft hij bescheiden: ‘Het gaat hier eigenlijk om negentiende-eeuwse wiskunde. Ik zie dit project dan ook meer als popularisering dan als wetenschappelijk onderzoek.’   

De wiskunde is gekraakt, maar de klus is nog niet geklaard. ‘We moeten er nog een echte prent van maken waarin de herhaling zichtbaar is,’ zegt de emeritus hoogleraar. En daar komt zowel programmeerwerk als artistiek werk bij kijken. Collega-wiskundige Bart de Smit, nu vice-decaan van de faculteit Wiskunde en Natuurwetenschappen, besluit om dit deel op zich te nemen als projectleider, een drie jaar durend project. Uiteindelijk schrijft masterstudent Joost Batenburg, inmiddels eveneens hoogleraar in Leiden, een computerprogramma om de eindeloze herhaling van de tekening te berekenen. Vervolgens verzorgen kunstenaars Hans Richter en Jacqueline Hofstra de invulling van de prent. En zie daar, na 50 jaar is het kunstwerk Prentententoonstelling eindelijk vervolmaakt.  

Het voltooide kunstwerk

Een tijdloos karakter 

Weer twintig jaar later verschijnt Lenstra’s naam in Nature Physics. In een recensie van een Escher-tentoonstelling in het Italiaanse Triëste vermeldt de schrijfster dat Lenstra het kunstwerk heeft weten te voltooien. De recensie toont aan hoe tijdloos de inspanning van Lenstra en zijn collega’s is. Lenstra is niet verbaasd dat hun werk in 2020 in het blad genoemd wordt. ‘Ten eerste is elke zuiver wiskundige eraan gewend dat zijn werk tijdloos van karakter is. En ten tweede ontvang ik nog steeds uitnodigingen om er voordrachten over te geven. De mensen kunnen er geen genoeg van krijgen, en ik eerlijk gezegd ook niet.’

Biografie 

Al op z’n 28e wordt Hendrik Lenstra hoogleraar (1949) op de UvA. In 1998 krijgt Lenstra de Spinozaprijs, de hoogste wetenschappelijke onderscheiding in Nederland. In 2007 benoemde de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW) hem tot Akademiehoogleraar. Lenstra geniet bekendheid voor de ontwikkeling van het algoritme van Lenstra en van het LLL-algoritme. Laatstgenoemde ontwikkelde hij onder andere met zijn broer Arjen. Ook broers Andries en Jan Karel Lenstra zijn wiskundigen. 

Animatie: Spaanse kunstenaars borduren voort op Leids werk

Deze video kan niet worden getoond omdat u geen cookies heeft geaccepteerd.

Verlaat onze website om deze video te bekijken.

Tekst: Bryce Benda 

Deze website maakt gebruik van cookies.  Meer informatie.