Universiteit Leiden Universiteit Leiden

Nederlands English

Numerieke wiskunde: wetenschap en gereedschap

Op 22 oktober 2010 sprak prof.dr.ir. Barry Koren zijn oratie uit ter aanvaarding van zijn functie van hoogleraar Numerieke Wiskunde bij het Mathematisch Instituut. Koren schetste de onschatbare waarde van de wiskunde voor het oplossen van praktische vragen en problemen. Maar hij begon met de ingenieursopleiding die de Universiteit Leiden bijna 250 jaar had.

Leidse ingenieurs

Simon Stevin (1548-1620), die al vóór zijn inschrijving als student in Leiden het belangrijke boek Tafelen van Interest (over ‘financiële wiskunde’) schreef, was adviseur van Prins Maurits. Hij huldigde het principe dat je, als je een vak goed in de praktijk wilde kunnen uitoefenen, eerst zo veel mogelijk theoretische kennis moest opbouwen. Maurits zag het belang van een ingenieursopleiding en gaf Stevin opdracht het onderwijsprogramma voor een dergelijke opleiding aan de Universiteit Leiden te schrijven. Na 250 jaar kreeg de Leidse ingenieursopleiding concurrentie van wat nog steeds de TU Delft is en legde het loodje. ‘Maar de ingenieurswiskunde is altijd gebleven in Leiden’, zei Koren.

Mijlpaal in de stromingsleer

Hierna liet Koren zien wat de wiskunde heeft betekend voor de kennis over en het beheersen van de invloedrijke stromingen van water en lucht. Als eerste voorbeeld noemde hij de Navier-Stokes-vergelijkingen. ‘Een mijlpaal in de stromingsleer is de invoering van partiële differentiaalvergelijkingen voor het beschrijven van gas- en vloeistofstromingen, op basis van de Tweede Wet van Newton (kracht = massa × versnelling).’ Partiële differentiaalvergelijkingen zijn wiskundige formules waarmee het verloop van vele ingewikkelde processen in allerlei vakgebieden op heldere en uiterst compacte wijze kan worden beschreven. 

Wrijvingskrachten

De eerste partiële differentiaalvergelijkingen voor gas- en vloeistoffen werden ruim 250 jaar geleden ingevoerd door de briljante wiskundige Euler, maar die waren nog niet geschikt voor de meeste praktische problemen; wrijvingskrachten waren er nog niet in opgenomen. ‘De uitbreiding met deze krachten werd in de 19e eeuw op elegante wijze verzorgd door de heren Navier en Stokes. We berekenen inmiddels allerlei stromingen met de Navier-Stokes-vergelijkingen’, zei Koren. ‘Bijvoorbeeld luchtstromingen om vliegtuigontwerpen. Vliegtuigen waar we dan vervolgens gewoon instappen als ze gebouwd zijn, ofschoon we niet echt zeker weten of de bij het ontwerpen van die vliegtuigen met Navier-Stokes berekende luchtstromingen wel echt betrouwbaar zijn.’ Want bewezen zijn de oplossingen van de vergelijkingen nooit. 

‘Weersnaspelling’

Een alledaagse toepassing van de Navier-Stokes-vergelijkingen is, aldus Koren, de weersvoorspelling. Het lukt alleen nog altijd slechts bij benadering. De Brit Lewis Fry Richardson was de eerste die zich echt zette aan weersvoorspelling op basis van numerieke wiskunde. Hij deed een poging om het reeds voorbije weer van 20 mei 1910 over een tijdsduur van zes uur achteraf te voorspellen, met andere woorden: hij waagde zich aan een ‘weersnaspelling’. Richardson faalde echter jammerlijk; het was heel ander weer geworden dan hij had voorspeld en bovendien had hij zes weken rekentijd nodig, ook niet bevorderlijk voor een weersvoorspelling.

Militair-strategisch belang

In 1942 pakte de Amerikaan John von Neumann de numerieke wiskunde weer op voor de voorspelling van het weer. Amerika raakte betrokken bij de Tweede Wereldoorlog en weer is van groot militair-strategisch belang, en Von Neumann deed het beter: hij bedacht een goede methode voor het analyseren van de stabiliteit van numerieke methoden. Von Neumann ging ervan uit dat de berekeningen van Richardson waren stukgelopen op het feit dat als steeds dezelfde sommen gemaakt moeten worden in een berekening, de afrondingsfoutjes het eindresultaat steeds meer gaan verstoren.

Apparaat

Von Neuman bouwde ook een apparaat. Koren: ‘Hij zag de ontwikkeling van een elektronische, digitale rekenmachine met interne programma-opslag als de manier om onder de te lange rekentijden uit te komen.’ Dat lukte. En de numerieke weersvoorspelling wordt nog steeds gebruikt.

Simuleren

De numerieke wiskunde is nooit meer weggeweest. Wat er eigenlijk mee gebeurt is simuleren. En goede simulaties zijn op veel vakgebieden gewild: de natuurkunde, de financiële wereld, de biologie. Het zijn allemaal specialismen geworden, maar het hart van computersimulatie is en blijft de numerieke wiskunde. Allerlei elegante en krachtige numerieke algoritmen werden en worden ontwikkeld, aldus Koren. De uitdaging is om ervoor te zorgen dat numerieke algoritmen in staat zijn om optimaal te profiteren van de computers van vandaag en morgen.

Links