Proefschrift

Translation invariant Banach function spaces on groups

Wanneer een fysisch systeem symmetrieën bezit gaan deze vaak gepaard met een representatie van de symmetriegroep op een Hilbertruimte. Groepsrepresentaties op Hilbertruimten zijn intensief onderzocht.

Auteur: C. Ding
Datum: 19 juni 2025
Links: Thesis in Leiden Repository

In dergelijke situaties zijn er echter ook natuurlijke representaties van de symmetriegroep op Banachroosters. Dit zijn functionaalanalytische structuren waarin begrippen als 'positief' en 'groter dan' een betekenis hebben, dit in tegenstelling tot Hilbertruimten waarin ordening geen rol speelt.De representatietheorie van groepen op Banachroosters bevindt zich nog in de beginfase. In dit proefschrift wordt een natuurlijke klasse van dergelijke representaties bestudeerd, namelijk die van een groep op Banachroosters van functies die gedefinieerd zijn op de groep zelf. Men kan bijvoorbeeld denken aan het Banachrooster van alle integreerbare functies op de cirkelgroep, waarop de cirkelgroep via rotaties werkt. Meer in het algemeen is er een representatie van een groep op ieder Banachrooster van functies op die groep dat invariant is onder de translaties die corresponderen met de groepsbewerkingen.

Als eerste thema wordt een aantal fundamentele vragen over de structuur van dergelijke representaties beantwoord. Wanneer is iedere functie in een translatie-invariante Banachfunctieruimte willekeurig dicht te benaderen met continue functies die nul zijn buiten een compacte verzameling? Wanneer met functies waarop de groep op een continue manier werkt en die in oneindig verdwijnen? Onder milde voorwaarden blijken beide equivalent te zijn met de zogenaamde orde-continuïteit van de norm op de ruimte. Als tweede thema worden positieve operatoren tussen twee translatie-invariante Banachfunctieruimten geclassificeerd die commuteren met links-translaties. Dit blijken precies de rechts-convoluties met positive maten op de groep te zijn.