Rationale punten en nieuwe dimensies
Hoe kun je vergelijkingen oplossen die niet ‘slechts’ een curve beschrijven, maar ook tweedimensionale oppervlaktes of zelfs objecten met nog meer dimensies? Dat is de grote vraag die wiskundige Martin Bright en zijn team gaan proberen te beantwoorden. Ze krijgen hiervoor een NWO Science-XL subsidie van 2,8 miljoen euro.
‘Vanaf het moment dat Descartes ons x- en y-coördinaten gaf, kunnen we meetkundige objecten beschrijven aan de hand van formules,’ vertelt Bright. ‘Als je op school de formule van een rechte lijn of cirkel opschrijft, is dat precies wat je doet. De afgelopen eeuw zijn de methodes om formules te bestuderen aan de hand van meetkundige objecten enorm uitgebreid. Dat heeft geleid tot veel doorbraken in ons vakgebied. Tot nu toe is de meeste vooruitgang geboekt met vergelijkingen die krommen definiëren, zoals de vergelijking van een cirkel. Ons project gaat over vergelijkingen die oppervlaktes, of zelfs hoger-dimensionale objecten beschrijven.’
‘Vooruitgang in grote wiskundige vraagstukken boeken we vaak door eerst zeer specifieke, kleinere problemen te bestuderen’
Een onderzoeksgemeenschap opbouwen
Het onderzoek is verdeeld in negen projecten. Volgens Bright vindt vooruitgang in grote wiskundige vraagstukken vaak plaats door eerst zeer speficieke, kleinere problemen te bestuderen. ‘Met deze subsidie zullen we een aantal promovendi en postdocs aanstellen,’ zegt hij. Hun werk zal belangrijke stapstenen vormen op weg naar ons uiteindelijke doel. We zullen regelmatig samen ideeën uitwisselen en nieuwe ontwikkelingen delen. Op deze manier wil het team ook een internationaal toonaangevende onderzoeksgemeenschap opbouwen.
Drie onderzoeksrichtingen
Bright en zijn team gaan onderzoek doen in drie richtingen:
- Onze kennis over curves uitbreiden naar objecten met meerdere dimensies
- Het vergelijken van de wereld van rationale getallen (breuken) met die van modulaire rekenkunde (zie kader)
- Het onderzoeken van concepten die een soort tussenvorm zijn van oplossingen met hele getallen en rationale oplossingen
Bright: ‘Deze laatste richting gaat over zogenaamde Campana-punten, een recente ontwikkeling. We begrijpen er nog niet veel van, maar ze bieden veelbelovende inzichten.’
Eén vergelijking, twee settings
Bright: ‘In de tweede richting gebruiken we tools uit de modulaire rekenkunde. Dit is de soort berekening die je gebruikt als je kloktijden optelt. Bijvoorbeeld 10 uur + 3 uur = 1 uur , als je optelt op een wijzerplaat. Het oplossen van vergelijkingen is daarmee veel gemakkelijk dan bij het gebruik van ‘gewone’ hele getallen of breuken. Maar het is nauw aan elkaar verwant en geeft informatie over het moeilijke vraagstuk dat we proberen op te lossen. In de moderne wiskunde kunnen we zelfs meetkunde doen in de setting van modulaire rekenkunde. Zo kunnen we dus de meetkunde van dezelfde vergelijking in twee verschillende settings vergelijken.’
Met vooruitziende blik
Het onderzoek zal vooral fundamenteel zijn. Bright: ‘Een van de projecten heeft echter indirecte toepassingen in de theoretische natuurkunde, namelijk de snaartheorie. Een ander project houdt zich heel specifiek bezig met het opstellen van betere foutcorrectiecodes. Deze codes gebruiken we tegenwoordig voortdurend gebruiken om de integriteit van data tijdens transmissie of opslag te waarborgen.’ De rest van de resultaten zal ons vooral helpen om algebra en geometrie beter te begrijpen. En, hopelijk, bijdragen aan de doorbraken van de toekomst.
NWO ENW-XL
Binnen de NWO Open Competitie ENW – XL kunnen onderzoekers in samenwerking (consortia) onderzoeksvoorstellen indienen voor nieuwsgierigheidsgedreven, ongebonden fundamenteel onderzoek op de onderzoeksterreinen van het NWO-domein Exacte en Natuurwetenschappen (ENW). Ze krijgen daarmee de gelegenheid en vrijheid om excellente, uitdagende en innovatieve onderzoekslijnen te versterken en/of uit te breiden.
Het bestuur van het NWO-domein Exacte en Natuurwetenschappen heeft 21 aanvragen toegekend. De onderwerpen variëren van het onderzoeken van de achilleshiel van het coronavirus tot het leren over gevaar door ervaringen van anderen.
De XL-regeling van NWO is bedoeld voor consortia van wetenschappers afkomstig van meer dan één instelling. Martin Bright is de hoofdaanvrager namens het Mathematisch Instituut van de Universiteit Leiden. De andere wiskundigen zijn: Ronald van Luijk, eveneens uit Leiden; Valentijn Karemaker en Marta Pieropan van de Universiteit Utrecht, en Steffen Müller en Cecília Salgado van de Rijksuniversiteit Groningen.