Wiskunde

Activerende wiskundelessen met centrale vragen

Wiskundige kennis en vaardigheid is nodig om te kunnen functioneren in de wereld van vandaag en morgen. Ook in het vervolgonderwijs en in vele andere vakken in het voortgezet onderwijs is wiskunde onmisbaar.

Reguliere aanpak

Regulier onderwijs wordt vaak bepaald door de lesmethode die docenten gebruiken. In de methoden is de leerstof vooraf al opgedeeld in kleine brokjes. De nadruk ligt op procedurele vaardigheden, die via voordoen-nadoen-oefenen aangeleerd worden. Leerlingen hebben moeite om overzicht te houden, waardoor gefragmenteerde kennis ontstaat en er veel geoefend wordt. Dit leidt tot overladenheid. Daarnaast is er beperkt aandacht voor andere aspecten van wiskundige bekwaamheid, namelijk conceptueel begrijpen, strategisch werken, adaptief redeneren, en het ontwikkelen van een productieve houding.

In onze visie moeten leerlingen

• Zelfvertrouwen krijgen in hun eigen denken;
• Samenhang zien tussen de wiskundige concepten en procedures;
• Betekenis geven aan leerstof zodat ze in hun eigen taal over wiskunde kunnen praten;
• Leren nieuwe problemen aan te pakken;
• Sctief zijn met wiskundige denk- en werkwijzen als modelleren, redeneren en bewijzen, abstraheren en concretiseren, formaliseren, generaliseren.

Hoe dan wel?

Een aanpak die het mogelijk maakt om aan deze aspecten voldoende aandacht te besteden is via centrale vragen (hele taken). De lessen zijn opgebouwd uit blokken met steeds een centrale vraag waar leerlingen in groepjes aan werken, en een klassikale bespreking. In deze klassikale bespreking komen antwoord, reflectie, strategieën, integratie met eerdere leerstof, consolidatie, en verdieping aan bod. Deze aanpak voldoet aan de criteria van goed onderwijs (waardevol, gelegenheid, kunnen, en willen), zoals geformuleerd in het Pedagogisch en Didactisch Raamwerk van het ICLON.

Verdieping

In deze aanpak is een goede centrale vraag essentieel. Een goede centrale vraag

• Is geformuleerd in leerlingentaal;
• Zet leerlingen aan het denken;
• Past bij het leerdoel en in een leerlijn;
• Is gericht op de kern van de leerstof en bevat de volle complexiteit.

Ook de wijze waarop aan deze vragen gewerkt wordt in de klas en hoe het klassikaal besproken wordt is van belang. Na het stellen van de centrale vraag gaan de leerlingen in twee- of drietallen zelf aan de slag met deze vraag. Dit dwingt leerlingen tot het formuleren van hun gedachten, tot argumenteren. en tot probleemaanpak. Dat maakt het denken van leerlingen voor de docent zichtbaar. Natuurlijk zijn ook meer docentgestuurde lessen mogelijk, zoals directe instructie waarbij de docent de centrale vraag in delen met leerlingen behandelt.

De derde component is de klassikale bespreking. Naast de voorbereiding van deze besprekingen tijdens het maken van de centrale vragen, geven ook de observaties van de docent tijdens het zelf werken van de leerlingen ideeën voor hetgeen bij dit onderdeel aan bod moet komen. Deze bespreking dient onder andere voor

• Reflectie op de aanpak van de centrale vraag en mogelijke alternatieve strategieën;
• Consolidatie van het geleerde via expliciteren en formaliseren;
• Integratie van deze kennis bij het eerder geleerde;
• Mogelijke versnellingen, stappenplannen, compressie en generalisaties.

Het doel is dat leerlingen rijke cognitieve schema’s ontwikkelen die de fragmentatie van kennis tegengaan.

De meeste methoden zijn niet vormgegeven met centrale vragen, dus zullen docenten deze zelf moeten formuleren. Dit kan op een aantal manieren. De meest toegankelijke wijze is om in de methode zogenaamde kernopgaven te selecteren en deze om te bouwen. Dat wil zeggen: alle hulpvragen weggelaten, en eventueel als hulp inzetten. We noemen dit ‘omdraaien en weglaten’. 

Een andere manier om centrale vragen te formuleren is via een schema met kernconcepten dat op basis van het boek gemaakt wordt of via zogenaamde perspectiefbomen bij het onderwerp.

We illustreren zo’n schema en perspectiefboom aan de hand van het onderwerp exponentiële functies voor wiskunde A.

We kunnen ook centrale vragen formuleren via zogenaamde perspectiefbomen, waarbij we niet het hoofdstuk van het boek als uitgangspunt nemen maar het onderwerp. Hieronder zie je een perspectiefboom voor Verbanden en Veranderingen, met daarin uitvergroot het deel van exponentiële functies.

In deze perspectiefboom van exponentiële functies zie je de centrale rol van de groeifactor, die gelinkt is met begrippen als groeipercentage, tabel, formule en halverings/verdubbelingstijd. 

Met perspectiefbomen proberen we overzicht en samenhang in een leerdomein, vakperspectief, te schetsen. Het benadrukt big ideas van het domein, en maakt, als deze in voldoende alledaagse taal zijn geformuleerd, ook communicatie met anderen (buiten de wiskunde) mogelijk. Daarnaast kan een lokale leerlijn geschetst worden om een domein verder te verkennen. Vakperspectieven bij wiskunde beschrijven verschillende aspecten van wiskundige kennis: getallen en variabelen, verbanden en veranderingen, omgang met toeval, vorm en ruimte, modelleren en abstraheren, redeneren en bewijzen, communiceren en representeren. Deze vakperspectieven zijn ook herkenbaar in de eindtermen van de programma’s wiskunde in het voortgezet onderwijs.

Veel opdrachten in wiskundeboeken vragen om berekeningen. Om wiskundige denk- en werkwijzen aan bod te laten komen kan bij het formuleren van centrale vragen ook andere werkwoorden gebruikt worden. Bijvoorbeeld categoriseer, beredeneer of bewijs (maak aannemelijk), modelleer of vergelijk twee modellen, geef voorbeelden van …, hoe is … hetzelfde of verschillend van …, bedenk verschillende manieren om …, maak een stappenplan voor …, demonstreer …, enzovoort.

Samenvattend: in plaats van alle theorieblokken van een boek te volgen proberen we via centrale vragen meer overzicht en structuur in de lokale leerlijn te brengen. Passend bij de centrale vragen kunnen dan oefen- en verdiepingsopdrachten uit het boek gekozen worden, waardoor het volledig doorwerken van alle theorieblokken en alle opgaven niet meer nodig is. Leerlingen oefenen probleemaanpak, hebben meer zicht op kern, en het probleem van overladenheid is aangepakt.

Praktijkvoorbeeld

Exponentiële functies bij wiskunde A havo

Reguliere aanpak

Veel docenten volgen het boek, bespreken met de klas de vele theorieblokken met uitgewerkte voorbeelden, waarna de leerlingen zelf opgaven gaan maken die de geschetste aanpak van de voorbeelden oefenen. Op het eind van het hoofdstuk komen pas de wiskundige denkactiviteiten waaronder probleemaanpak aan bod.

Omgebouwde aanpak

Centrale vraag 1: Exploreren van ‘steeds met zelfde percentage groeien’

Je zet 1000 euro op de bank. Ieder jaar wordt 4% rente bijgeschreven. Hoeveel geld staat over 10 jaar op die rekening? Voor de eerste paar jaar is dit al gedaan. Zie tabel.

t	0	1	2	3	4	5	6				10
Bedrag	1000	1040	1081.60

Werkwijze: leerlingen gaan in twee- of drietallen aan het werk. Bij groepjes die steeds rekenen met de 1%-methode wordt gestimuleerd naar versnellingen te zoeken. Dit kan door gebruik te maken van het patroon in de tabel.

Klassikale bespreking: we gebruiken steeds de tabel als ondersteuning. We zoeken met klas naar efficiënte manier om in de tabel door te rekenen. Idee: vermenigvuldig steeds met 1,04. Waarom x1,04? Zou je nu ook het bedrag na 20 jaar kunnen berekenen? En na 86 jaar? Vervolgens een formule maken. Wat als niet steeds +4% maar bijv. steeds +12%? En als steeds +50%? En als steeds -12%? Dan samenvatten en wat onthouden moet worden: als ieder jaar +4% dan kun je snel rekenen met *1,04, en hoe je dan formule kunt opstellen.

Centrale vraag 2: Het exploreren van exponentiële groei

De luchtdruk neemt af met de hoogte: hoe hoger je komt hoe lager de luchtdruk.

Hoogte (in km)	0	1	2	3	4	5	6
Luchtdruk (in hPa)	1020	903	800	708	627	555

a. Toon aan dat er sprake is van een exponentieel verband.
b. Bereken de luchtdruk op 10 km hoogte en geef een formule waarbij de luchtdruk uitgedrukt wordt in hoogte h.

Stel dat je van de tabel enkel de volgende twee meetwaarden had:

Hoogte (in km)	0	1	2	3	4	5	6
Luchtdruk (in hPa)	1020					555

c. Hoe zou je nu de groeifactor kunnen vinden?

Werkwijze: leerlingen werken in twee- of drietallen. Hulp bij vraag c kan via verwijzing naar centrale vraag 1.

Klassikale bespreking

Vraag b is herhaling van centrale vraag 1. Bij vraag c zoeken we de oplossing van de vergelijking 1020∙g∙g∙g∙g∙g=555 met GR.

Centrale vraag 3: De halveringstijd van het aantal ijsberen in Alaska is 10 jaar, dat wil zeggen, iedere 10 jaar halveert het aantal. Bereken met hoeveel procent het aantal per jaar afneemt.

Leerlingen kunnen nu weer een tabel gebruiken, zoals bij centrale vraag 2c.

Centrale vraag 4: Beredeneer steeds de best passende vorm van de grafiek bij de volgende formules:

1. N=10∙0,95^t
2. N=10∙1,5^t
3. N=2500∙0,993^t
4. N=4200∙1,003^t

Werkwijze: werk in twee- of drietallen. Hulp via grafische rekenmachine

Bij de klassikale bespreking komt aan bod hoe de vorm van de grafiek van y=b∙g^t afhangt van de waarden van b en g.

Deze vier centrale vragen dekken een groot deel van de inhoud van het hoofdstuk. Natuurlijk moet tussendoor nog wel geoefend worden. Maar het aantal oefenopgaven kan beperkt blijven.

Handvatten

Het model centrale vraag – leerlingen werken aan taak – klassikale bespreking geeft handvatten om activerende wiskundelessen te geven en iets te doen aan de overladenheid die door docenten vaak ervaren wordt. Het bedenken van centrale vragen kan via het selecteren van kernopgaven uit een hoofdstuk (omdraaien en weglaten),via het maken van een schema bij een hoofdstuk, of via het gebruiken van een perspectiefboom. Vooral dat laatste geeft de docent veel inzicht in de leerstof. 

Het geschetste model met centrale vragen bevat alle aspecten van zowel onderzoekend leren als directe instructie. Het beschrijft hoe activerend wiskundeonderwijs dat effectief en efficiënt is, eenvoudig vormgegeven kan worden.