Oneindig in de wiskunde
Deze cursus laat in zes colleges enige aspecten zien van het werken met ‘oneindig’ in de Wiskunde. We beginnen met het ondubbelzinnig definiëren van het begrip ‘oneindig’ in de context van ‘aantal elementen’; dit kan op een aantal verschillende manieren, wij kiezen de meest gangbare. Daarna bekijken we het werk van Cantor en zijn ontdekkingen van het bestaan van diverse ‘graden van oneindigheid’. Een andere vorm van oneindig ziet men in de Analyse alwaar het symbool ∞ veelvuldig gebruikt wordt. Dit heeft een andere functie dan het aangeven van ‘het aantal elementen’. De beide interpretaties komen samen bij het definiëren van sommen van oneindig veel getallen. Hierbij zien we ook de oneindige aspecten van bekende irrationale getallen als π, √2, e, en anderen.
Het beoogde publiek is nieuwgierig naar 'oneindig in de wiskunde' en niet bang voor formules en scherpe definities.
1. Wat is ‘oneindig’? Een overzicht van de pogingen het begrip ‘oneindige verzameling’ te definiëren of equivalent: het begrip ‘eindige verzameling’. We nemen uiteindelijk de vigerende definitie uit de Verzamelingenleer over: we definiëren ‘eindige verzameling’ en spreken af dat een oneindige verzameling per definitie ‘niet eindig’ is.
2. Verschillende soorten oneindig. We bespreken Georg Cantor’s eerste ontdekkingen van het bestaan van verschillende soorten oneindig en ook van verzamelingen die, onverwacht, even groot bleken te zijn.
3. De Continuümhypothese. We kunnen niet om Cantor’s Continuümhypothese heen. Deze heeft veel voor de ontwikkeling van de Verzamelingenleer betekend en de oplossing, onbeslisbaar, is een mijlpaal in de Wiskunde.
4. Het andere oneindig. Het symbool ∞ behoort tot de minst begrepen, en meest misbruikte, symbolen uit de Wiskunde. We bekijken waar het symbool vandaan komt en waar het allemaal voor gebruikt is. Daarnaast proberen we de nodige misvattingen uit de weg te ruimen.
5. Oneindig veel getallen optellen. Sinds het begin van de Calculus/Analyse spelen sommen van oneindig veel getallen een grote rol. Heel veel bekende grootheden en functies kunnen niet anders vastgelegd of gedefinieerd worden dan door middel van oneindige sommen. Wat verstaan we daaronder, en hoe kunnen we die sommen uitrekenen?
6. π en andere getallen. Veel bekende getallen/grootheden kunnen alleen met behulp van oneindige uitdrukkingen beschreven worden, niet alleen sommen maar ook producten en breuken. We bekijken er een paar en proberen te doorgronden waarom ze irrationaal zijn.
Docent
Dr. Klaas Pieter Hart is universitair hoofddocent van de opleiding Technische wiskunde, TU Delft. Zijn onderzoek betreft Topologie, Verzamelingenleer en een beetje Logica.
Hij houdt een weblog bij.
Praktische informatie
6 woensdagen
10, 17, 24 apr
15, 22, 29 mei
15.15-17.00 uur
Leiden
Hoor-/werkcolleges, met veel interactie.
Thuis 2 tot 4 uur voorbereiden aan de hand van opdrachten en evt. de opgegeven achtergrondliteratuur.
Voor de eerste helft is het handig en nuttig als men enige kennis van en ervaring met afbeeldingen/functies heeft. Daarnaast maakt enige bekendheid met de veelgebruikte getalverzamelingen — natuurlijke, gehele, rationale, reële getallen — het volgen van de verhalen wat eenvoudiger. De docent zal de minimale kennis samenvatten en via zijn website ter beschikking stellen.
De tweede helft duikt wat dieper de Wiskundige Analyse in. Hier speelt de notie van ’convergentie en limiet van een rij’ een belangrijke rol. Ook hier zal de docent een samenvatting van begrippen geven die vaak gebruikt gaan worden.
Opdrachten en teksten worden via de website van de docent verspreid.
Wie graag enige achtergrondliteratuur leest kan gebruik maken van:
Leon van den Broek, Arnoud van Rooij, Blik op Oneindig, Deel: Zebra-reeks 25, Epsilon Uitgevers, 2020 (2e druk). (ISBN: 9789050410991). Kosten € 10,-
Colleges en studiemateriaal € 247,- (incl. koffie/thee)
U krijgt de mogelijkheid te betalen via Ideal, credit card of door middel van een factuur.
U ontvangt na verzending van een ingevuld formulier een bevestiging, zodat u kunt controleren of de aanmelding is verwerkt.
De mogelijkheden om aan te melden met korting of met een fanpas voor grootverbruikers/veelplegers vindt u op de pagina Aanmelden.